Medir la capacitancia

El diseño más sencillo para medir capacitancia, se basa en un oscilador de relajación. La capacitancia a detectar forma parte de un circuito RC o LC. A continuación se muestra un diagrama en bloques de como sería el circuito propuesto.

Fig.8: Diagrama en bloques

Como podemos ver, tenemos el capacitor variable Cx, un bloque con el integrado 555, y un contador de ciclos.

Cuando se configura al 555 como astable, con esto queremos decir que no tiene un modo estable sino que alterna entre 2 modos estables, la salida se caracteriza por ser con forma de onda cuadrada o rectangular continua. El ancho de la onda será definido por el circuito exterior. Observando en la Figura 9, podremos ver como es el esquema de conexión completo.

La señal de salida tendrá un nivel alto durante un tiempo t2 y un nivel bajo durante otro tiempo t3, estos tiempos estan definidos por las resistencia Ra, Rb y el capacitor variable Cx. Ver Fig 10 para mas información.

Fig.9: Esquema de conexión

Fig.10: Diagrama de tiempos de salida y carga y descarga del capacitor.

La frecuencia de oscilación estará definida por:

El Duty Cycle o ciclo de trabajo del 555 está definido por la relación entre los tiempo t2 y t3, 

Si observamos el ciclo de trabajo no depende del capacitor, solo depende de las resistencias de carga y descarga, por lo tanto si mantenemos las resistencias fijas el D no cambiará, y si variamos el Capacitor, lo único que variara será la frecuencia de oscilación.

Fig.11: Variación del Duty Cycle. Sin variar la frecuencia.

Otra forma de calcular el flujo seria modificando la conexión del 555, y en vez de utilizarlo como astable, usarlo como monoestable. De esta forma por cada disparo que le apliquemos obtendríamos un pulso del ancho correspondiente al tiempo de carga del capacitor.

Fig.21: Esquema 555 Monoestable

La salida del Monoestable, como dije antes, es el tiempo de carga del capacitor y por lo tanto es linealmente dependiente con el nivel de líquido H o nivel de dielectrico.

• [1] Sensores y acondicionadores de señal, Ramon Pallas Areny (3ra Edicion)
• [2] Principles of Measurement Systems, John P. Bentley(4ta Edicion) (p. 160)
• [3] Departamento de Fisica Aplicada III Universidad de Sevilla
• [4] Fundamentos de electromagnetismo para ingenieros, David K. Cheng (p. 120)
• [5] Fundamentos de circuitos eléctricos , Alexander Sadiku (3ra Edicion) (p. 215, 399)
• [6] Instrumentación Industrial, Antonio Creus (6ta Edicion) (P. 209)
• [7] Wikipedia Sensores Capacitivos
• [8] SA Tema 06 Sensores Capacitivos, E.T.S. de Ingenieros de Telecomunicación de Vigo

Capacitor cilíndrico con 2 dieléctricos

En blogs anteriores vimos como calcular la capacidad de un capacitor de placas paralelas y de un  capacitor cilindrico , en este caso vamos a centrarnos en el capacitor cilindrico pero con dos dielectricos diferentes.
En el caso en que tenemos 2 dieléctricos, la capacidad va a depender de la cantidad de cada dieléctrico. Esto hará que la energía acumulada en el capacitor dependa de la cantidad de líquido dieléctrico.
Suposiciones

1.  Se tienen dos superficies conductoras de radios r1 y r2, separadas por una distancia “d = r2-r1”. Esta distancia  debe ser considerablemente menor que el radio de la superficie interior; es decir.  r2-r1 << r1
2. Además la longitud del cilindro debe ser mucho mayor a la distancia “d”. r2-r1<
3. Se supone que la carga en el conductor central  será distribuida uniformemente en la superficie del conductor exterior. Y por lo tanto existen densidades superficiales de carga constantes en los extremos.
4. Se desprecian los efectos de borde.

Para calcular la variación de la capacitancia cuando cambia la relación entre los dieléctricos, puede hacerse si mantenemos como verdaderas las suposiciones anteriores. En este caso, si tenemos un esquema como el de la figura 4. Siendo tanto el dieléctrico 1 como el dieléctrico 2, dieléctricos no conductores, y teniendo al cilindro exterior conectado a masa. Podemos calcular cuánto es la capacitancia.[3]

Fig. 4: Diagrama esquemático de un capacitor cilíndrico con dos dieléctricos.

La capacitancia para un capacitor cilíndrico con un solo dieléctrico está dada por:

Ahora deberemos ajustar este cálculo para el caso en el que se posean 2 dieléctricos en vez de 1.

Supongamos que se tienen dos capacitores en vez de uno solo, uno con un dieléctrico 1 y el otro con un dieléctrico 2,  uno tiene una longitud H y otro L-H (ver figura 5).

Fig. 5: Diagrama esquemático de 2 capacitores con dos dieléctricos distintos

Si analizamos el sistema podemos ver que en realidad es una conexión de dos capacitores en paralelo, ya que ambos capacitores tendrán la misma diferencia de potencial. (Ver figura 6)

Fig. 6: Diagrama circuital de 2 capacitores  en paralelo

Al ser una conexión en paralelo, la capacidad eléctrica del sistema, será la suma de la capacidad de cada condensador, teniendo en cuenta cada dieléctrico. Supongamos que el capacitor superior C1 tiene un dieléctrico k1 y el inferior C2 un k2.

Si ahora suponemos que el dieléctrico k2 esta definido por liquido que llena un tanque. Al rellenarse  parcialmente de líquido dieléctrico, la altura H aumenta, por lo que el término   también aumenta, y por lo tanto la capacidad del condensador aumenta.

Utilizando esta ecuación, sabiendo la geometría del tanque y la constante de permitividad del dieléctrico del líquido, puede calcularse la cantidad de líquido que hay en el tanque. 

Dándonos la posibilidad de calcular la altura de liquido en el tanque.

Capacitor Cilíndrico

En un blog anterior, explique el comportamiento de un capacitor de placas paralelas. Si ahora en vez de tener placas paralelas tenemos un capacitor cilindrico, la ecuación está dada por los diámetros interior y exterior de los conductores y el dieléctrico que contienen. (Ver figura 2).

Fig. 2: Diagrama esquemático de un capacitor cilíndrico

Al igual que antes: 

en este caso  . Tomamos como superficie Gaussiana un cilindro de radio r con  (Ver figura 2)

 Fig. 3: Diagrama esquemático del campo eléctrico en un capacitor cilíndrico

El flujo E que atraviesa la siperficie es E.2.Pi.r.L (el área del cilindro sin las tapas es 2.Pi.r.L ) y la carga que atraviesa esa superficie es q.L

Calculando la diferencia de potencial tenemos que:

Si ahora utilizamos esta diferencia de potencial en la ecuacion de capacitor:

Por lo tanto, llegamos a la ecuacion de un capacitor cilindrico donde lo unico que nos varia la capacidad es su geometria, mientras se mantenga el mismo dielectrico en todo el interior.

Capacitor de Placas Paralelas

Un capacitor está formado por dos conductores separados por un dieléctrico. La capacidad de este está dada por la geometría en que están dispuestos los conductores y del material dieléctrico que está entre ellos.

Cualquier alteración en el dieléctrico que modifique su constante dieléctrica provocara un cambio en la capacidad.

Si tenemos un capacitor de placas paralelas, separadas por una distancia d y de área A (ver figura 1), donde el dieléctrico utilizado tiene una permitividad eléctrica ε_r la ecuación física que lo describe es:

Siendo  la permitividad eléctrica del vacío.

Fig. 1: Diagrama esquemático de un capacitor de placas paralelas

Esta ecuación sale de la relación entre el campo eléctrico, la diferencia del potencial y las cargas del capacitor. En un capacitor la capacitancia está dada por:

donde Q es la carga y  es la diferencia de potencial.

Ley de Gauss: El flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga q contenida dentro de la superficie, dividida por la constante ε₀.

Entonces por ley de Gauss, planteamos la integral de flujo para una caja rectangular:

La superficie S representa el área orientada de la caja, la parte de la caja que esta fuera de las placas tiene un campo nulo, y en los extremos de la caja dS es perpendicular al campo, por lo tanto esa parte de la integral también es cero. El campo eléctrico es constante, entonces tenemos que:

Si en vez de estar en vacío  tuviéramos un dieléctrico, el campo eléctrico se vería afectado por este dieléctrico de forma que:

Por otro lado la diferencia de potencial entre las placas paralelas, esta definido a partir de la siguiente integral de línea:

Por último obtenemos la ecuación de la capacitancia: